1. เรขาคณิตของอนุพันธ์

เพื่อประมาณค่า $f'(x_0)$ เราจะพิจารณาจุดใกล้เคียง ขึ้นอยู่กับทิศทางที่เราเลือก เราจะได้สูตรหลักสองสูตร:

• สูตรผลต่างแบบหน้า: ใช้เมื่อ $h > 0$ มันมองไปข้างหน้าที่ $x_0 + h$
• สูตรผลต่างแบบย้อนกลับ: ใช้เมื่อ $h < 0$ มันมองย้อนกลับไปที่ $x_0 + h$ (โดยที่ $h$ เป็นค่าลบ)

ในงานวิศวกรรมจริง เช่น การคำนวณความยาวเส้นโค้งของเส้นทางโค้ง เราจำเป็นต้องอาศัยการประมาณค่านี้: $$L = \int_{0}^{48} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx = \int_{0}^{48} \sqrt{1 + (\cos x)^2} dx$$ หาก $f(x)$ มีเพียงแค่ข้อมูลที่จุดเซนเซอร์ที่แยกจากกัน เราจะต้องใช้การหาอนุพันธ์เชิงตัวเลขเท่านั้น

2. การอนุมานทางคณิตศาสตร์โดยการประมาณค่า

เพื่อประมาณค่า $f'(x_0)$ สมมติว่า $x_0 \in (a, b)$ โดยที่ $f \in C^2[a, b]$ และ $x_1 = x_0 + h$ เราสร้างพหุนามลากรองจ์ลำดับแรก $P_{0,1}(x)$ ที่กำหนดโดย $x_0$ และ $x_1$:

3. ข้อผิดพลาดและการรวมตัว

พจน์ $-\frac{h}{2} f''(\xi)$ คือข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ สูตรนี้แสดงให้เห็นว่าความแม่นยำคือ $O(h)$, หมายความว่าหากคุณลดขนาดขั้นตอน $h$ ลงครึ่งหนึ่ง ค่าความคลาดเคลื่อนจะลดลงครึ่งหนึ่ง อย่างไรก็ตาม เราต้องระมัดระวัง: แม้ว่าค่า $h$ ที่เล็กลงจะลดข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ แต่มันจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ เนื่องจากการลบจำนวนที่แทบจะเหมือนกันในตัวเศษ